4 Procesos estocásticos
Los procesos estocásticos desempeñan un papel fundamental en la modelización y análisis de una amplia gama de fenómenos en diversas disciplinas, desde la física hasta la economía. Estos procesos son esenciales para comprender y predecir el comportamiento de sistemas que involucran aleatoriedad y variabilidad en el tiempo.
Un proceso estocástico (o probabilístico) puede considerarse una generalización de una muestra aleatoria, en el sentido de que las variables aleatorias no son necesariamente independientes y su distrbución podría cambiar. (Castañeda, Arunachalam, y Dharmaraja 2014) proporciona la siguiente definición para proceso estocástico.
Definición 4.1 (Proceso estocástico) Un proceso estocástico real es una colección de variables aleatorias \(\{X_t;\ t\in T\}\) definida en un espacio de probabilidad común \((\Omega, \mathfrak{F}, P)\) con valores en \(\mathbb{R}\). \(T\) se le llama al conjunto índice del proceso o espacio paramétrico, que generalmente es un subconjunto de \(\mathbb R\). El conjunto de valores que la variable aleatoria \(X_t\) puede tomar se denomina espacio de estado del proceso y es denotado por \(S\).
De la definición anterior se entiende que las variables dependerán del parámetro \(t\) (usualmente el tiempo) y están ordenadas. Además, el conjunto \(T\) puede ser discreto o continuo. Si el conjunto de índices \(T\) es discreto, se le conoce como proceso estocástico de tiempo discreto mientras que si \(T\) es continuo, se le conoce como proceso estocástico de tiempo continuo. Las variables aleatorias \(X_t\) pueden tomar tanto valores continuos como valores discretos. Note que si se fija un punto \(t\), se tiene \(X_t\) una variable aleatoria (Ross 1995).
Definición 4.2 (Trayectoria) La asignación definida para cada \(\omega\in\Omega\) fijo, \[\begin{split}X(\omega):\ &T\to S\\ &t\mapsto X_t(\omega)\end{split}\] se denomina una trayectoria de muestra del proceso a lo largo del tiempo o una realización del proceso estocástico.
Definición 4.3 (Proceso completamente específicado) Se dice que un proceso estocástico \(\{X(t): t\in T\}\) está completamente especificado si para cualquier valor del tiempo \(t_1<t_2<\cdots<t_n\) con \(n\in\mathbb N\), la distribución conjunta de \((X_{t_1}, X_{t_2},\cdots,X_{t_n})\) es conocida.
Definición 4.4 (Proceso estocástico con incrementos independientes) Si para todo \(t_0,t_1,t_2,\ldots,t_n\) tal que \(t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n\), las variables aleatorias \(X_{t_0}, X_{t_1}-X_{t_0}, X_{t_2}-X_{t_1},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}\) son independientes (o de manera equivalente, \(X_{t+\tau}-X_\tau\) es independiente de \(X_s\) para \(s< \tau\)), entonces se dice que el proceso \(\{X_t;\ t\in T\}\) es un proceso con incrementos independientes.
Observación. No resulta pertinente afirmar que \(X_{t_1}\) sea inferior a \(X_{t_2}\) dado que las variables aleatorias no se encuentran ordenadas.
Definición 4.5 (Proceso estocástico con incrementos estacionarios) Se dice que un proceso estocástico \(\{X_t;\ t\in T\}\) tiene incrementos estacionarios si \(X_{t_2+\tau}-X_{t_1+\tau}\) tiene la misma distribución que \(X_{t_2}-X_{t_1}\) para todas las elecciones de \(t_1,t_2\) y \(\tau>0\).
Definición 4.6 (Proceso estacionario) Si para cualquier conjunto de \(t_1, t_2, \ldots , t_n\) arbitrarios, tal que \(t_1< t_2 < \cdots < t_n\), las distribuciones conjuntas de las variables aleatorias vectoriales \((X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_n})\) y \((X_{t_1+h}, X_{t_2+h},\ldots , X_{t_n+h})\) son iguales para todo \(h > 0\), entonces se dice que el proceso estocástico \(\{X_t,\ t \in T\}\) es un proceso estacionario estocástico de orden \(n\) (o simplemente un proceso estacionario). El proceso estocástico \(\{X_t,\ t \in T\}\) se dice que es un proceso estocástico fuertemente estacionario o estrictamente estacionario si la propiedad anterior se cumple para todo \(n\).
Definición 4.7 (Proceso de segundo orden) Un proceso estocástico \(\{X_t;\ t\in T\}\) se dice un proceso de segundo orden si
\[ \mathrm{E}((X_t)^2)< \infty \]
para todo \(t\in T\).
Definición 4.8 (Proceso estacionario por covarianza) Un proceso estocástico de segundo orden \(\{X_t,\ t \in T\}\) se denomina estacionario por covarianza o estacionario débil si su función de media \(m(t) = \mathrm{E}[X_t]\) es independiente de \(t\) y su función de covarianza \(\mathrm{Cov}(X_s, X_t)\) depende únicamente de la diferencia \(|t - s|\) para todos \(s, t \in T\). Es decir:
\[ \mathrm{Cov}(X_s,X_t)=f(|t-s|). \]
Definición 4.9 (Proceso evolutivo) Un proceso estocástico que no es estacionario (en ningún sentido), se dice ser un proceso estocástico evolutivo.